Géométrie égalitaire

Euclide vivait au temps de Ptolémée Ier, le premier roi grec d’Égypte. « On dit qu’un jour Ptolémée lui a demandé s’il n’y avait pas une route plus brève que les Éléments [le traité d’Euclide], pour la géométrie. Il répondit : il n’y a pas de chemin royal pour la géométrie. »

L’expression me paraît intéressante. Le sens est certainement ‘en géométrie, la route est la même pour tout le monde’. En sciences, pas de privilégiés ! Mais il faut y voir de plus près.

Acte 1. Euclide, son œuvre sans sa vie

A la mémoire de Simone Dulibine1

Si l’on excepte les philosophes et les historiens, Euclide est un des plus célèbres des savants grecs, aux côtés d’Archimède et d’Ératosthène. Son nom est lié aux mathématiques et à la géométrie. Mais sa vie est inconnue. Ses œuvres sont transmises par plusieurs manuscrits qui se divisent en deux traditions.

Al-Mansûr (m. 775) puis Al-Ma’mun (m. 833) à Bagdad montrèrent une grande curiosité pour les Éléments d’Euclide, qui fut certainement parmi les tout premiers livres traduits du grec en arabe.

Un détail du folio 15r du Vaticanus gr. 190. On voit un beau dessin pour la proposition 1, 1. On voit aussi, en haut à droite, le mot grec CYMΠEPACMA ‘conclusion’.

Les Éléments est un ouvrage assez composé. Des commentaires ultérieurs, les scholies, indiquent que sur les 13 livres des Éléments, le 4 est d’origine pythagoricienne ; que le 5 vient d’Eudoxe ; que la proposition 9 du livre 10 est due à Théétète, celui qui a donné son nom à un dialogue de Platon. En somme, les Éléments rassemblent un savoir, certainement l’augmentent, et surtout le formalisent de la façon la plus raisonnable possible grâce à une série de techniques qui sont à la fois de l’ordre de la logique et de l’ordre du langage, comme les mots ‘définition’, ‘postulat’, ‘proposition’, ‘conclusion’.

Le théorème de Pythagore, par exemple, sur la longueur de l’hypothénuse du triangle rectangle2, n’est pas connu par Pythagore (dont il ne reste aucun écrit), mais par la fin du livre 1 d’Euclide3. Si nous l’appelons « théorème de Pythagore », ce n’est pas à cause d’Euclide qui reste muet là-dessus. C’est grâce à Proclus, dont le commentaire au livre 1 d’Euclide nous dit4 :

« Si nous voulons écouter les historiens, on en trouve qui rapportent ce théorème à Pythagore, et racontent qu’il a sacrifié en bœuf en l’honneur de cette découverte. Mais pour ma part, tout en admirant ceux qui ont d’abord trouvé ce théorème, j’admire davantage l’auteur des Eléments, non seulement parce qu’il l’a assuré par une démonstration claire, mais parce qu’il en a tiré un théorème plus général dans le livre 6, en le confirmant avec les arguments d’une science définitive. »5

Johan Ludvig Heiberg

Il est vrai, dit Heath6, que Plutarque, Diogène Laërce et Athénée rapportent la même histoire7 : c’est Pythagore ! mais tous les mathématiciens géomètres ont de bonnes raisons de souligner que, tant que les preuves ne sont pas explicites, le théorème n’a pas de démonstration.

C’est un bon exemple d’opposition apparente entre sciences raides et sciences molles, entre l’os et la chair comme disent les ethnologues. Pour les géomètres à courte vue, peu importe l’histoire puisqu’elle s’immobilise dans l’atemporalité de la démonstration. A leurs yeux, l’édifice bien construit anéantit les plus anciens, réduits au rôle de brouillons. Pour l’historien, c’est moins Pythagore qui importe ici que les termes qui disent ‘proposition’, ‘démonstration’, ‘objection’, et même ‘cas’ et tant d’autres, et qui enracinent la rhétorique de démonstration atemporelle dans l’histoire des pratiques intellectuelles !

Du reste, ce sont les mêmes années et les mêmes milieux intellectuels qui ont créé le lexique mathématique et le lexique technique de la linguistique.

Le plus ancien dessin connu de la démonstration du théorème de Pythagore. Bibliothèque Bodléienne, ms. D’Orville 301, 31v.

Acte 2. Les Eléments, un livre d’images

Un point essentiel est que les Eléments comportent des dessins. Dans de nombreux manuscrits, par exemple le Pluteus 28,3 (Xe siècle) de la bibliothèque Laurentienne à Florence, ou dans le D’Orville 301 (IXe siècle) de la Bodléienne à Oxford, les figures sont dans les marges. Mais dans le manuscrit grec 190 de la Vaticane découvert par Peyrard, les figures interrompent le texte, et on est donc assuré que figures & textes ont été conçus et écrits ensemble. On peut en outre, en comparant plusieurs manuscrits, s’assurer que les figures sont analogues ou identiques, ce qui montre que c’est l’ensemble qui « est d’origine ».

Le dessin de démonstration du théorème de Pythagore dans le Vat. gr. 190, 39r.

Le contraire serait difficile puisque le texte des Eléments est farci de lettres qui signalent les points importants des figures dessinées à côté, et que le lecteur est censé avoir sous les yeux, et comprendre. J’ai expliqué ailleurs8 qu’en Grèce ancienne et dans l’empire byzantin, ce sont les lettres qui servent de chiffres (les chiffres « arabes » ne se répandront qu’avec l’imprimerie), de sorte que ces lettres que nous employons encore aujourd’hui en géométrie (l’angle α ‘alpha’, le rayon AC, etc.) viennent de cet usage grec.

L’usage des lettres pour indiquer des nombres contribue aussi à réduire l’écart entre discours et dessin. Les signes et repères passent sans distorsion de l’un à l’autre. En outre, en grec, on utilise le même verbe graphein pour ‘écrire’ (un texte) et ‘dessiner’ (une figure, une peinture). Chez les géomètres et mathématiciens de langue grecque, l’usage de schémas et croquis n’introduit aucune rupture dans le discours. Alors que nous avons, dans l’Europe moderne, souvent l’habitude d’opposer « les sciences » qui dénombrent et les « lettres » qui racontent, force est de constater que rien de tel n’existait dans l’Antiquité.

Et que l’admiration que nous avons pour ces savants de la Renaissance, comme Léonard de Vinci, qui étaient autant peintres que dessinateurs et inventeurs de machines – n’est qu’un aveuglement rétrospectif que nous projetons depuis une frontière construite ensuite.

Les trois premières définitions (horoi) des Eléments d’Euclide, dans l’édition de Heiberg.

Il est d’ailleurs remarquable que la première ligne des Eléments d’Euclide est la définition du ‘point’, la 1re ligne dans l’image ci-dessus : sēmeion estin hou meros outhen. Bernard Vitrac traduit : ‘Un point est ce dont il n’y a aucune partie.’9 Mais le mot grec qu’on traduit en français par ‘point’ est sēmeion ‘signe’. N’est-ce pas comme un cadeau pour un historien des sciences du langage ?

Le début des Eléments d’Euclide dans le manuscrit Vat. gr. 190, 14r. J’ai entouré la 1re définition, celle du ‘point’, dont il est question plus haut.

Acte 3. La science hors de la vie ?

Nous ne savons presque rien de la Vie d’Euclide. C’est comme si « l’œuvre » dominait l’homme au point de l’anéantir, de même qu’une trouvaille qui se répand aussitôt fait trop de bruit pour qu’on entende encore le nom de l’inventeur. Il n’existe que deux sources anciennes importantes sur l’histoire des mathématiques grecques : chez Pappus d’Alexandrie, au IVe siècle, et dans ce qu’on appelle le ‘Résumé de Proclus’ qui figure à la fin du Prologue de son commentaire d’Euclide. C’est dans ce Résumé qu’on trouve la phrase qui motive ce billet :

« Ceux qui ont assemblé leurs recherches mènent jusqu’à ce point le développement de cette science [la géométrie]. Mais Euclide est à peine plus récent, lui qui a assemblé les Eléments, ordonnant les théorèmes d’Eudoxe, perfectionnant ceux de Théétète, et donnant une force démonstrative à des propositions jusque là prouvées de façon assez floue. Cet homme vivait au temps du premier Ptolémée, puisqu’Archimède, qui vivait juste après ce roi, fait mention d’Euclide. En outre, on dit qu’un jour Ptolémée lui a demandé s’il existe sur la géométrie une route plus abrégée que celle des Eléments. Mais il a répondu qu’il n’y a pas de chemin royal pour la géométrie. »

La question du roi Ptolémée, qui comme tous les hommes d’état est très occupé, c’est s’il y a une hodos suntomōtera, une voie qui coupe plus court, un raccourci. La réponse est qu’il n’y a pas de basilikēn atrapon, de ‘chemin royal’. Le mot atrapon signifie ‘chemin, sentier’ – il utilise la même base historique qu’en anglais le mot trip, qui évoque plutôt le sac à dos que la limousine.

Le passage de Stobée dans l’édition de Wachsmuth.

Il existe une citation parallèle transmise par le compilateur Stobée10. Cette fois, c’est Alexandre le Grand qui demande au géomètre Ménechme de lui livrer la géométrie suntomōs ‘en raccourci’, et Ménechme répond : « Ô roi, sur le sol il y a des routes pour tout le monde et des routes pour les rois, mais en géométrie, c’est la même route pour tous. » Cette fois, la citation utilise à chaque fois le mot hodos ‘route’. Mais derrière cette anecdote, on entend l’injonction plus célèbre de Diogène à ce même Alexandre : « Ôte-toi de mon soleil ! ».

Conclusion

Pas de tapis rouge. Il n’existe pas de porte dérobée dans les sciences, d’accès plus facile, de loge réservée près de la scène. Il y a une longue et troublante histoire des rapports entre les souverains et les savants, ou plus généralement entre le pouvoir politique – autant dire le Pouvoir – et cette autre édifice du prestige dont les plus grands souverains sont parfois jaloux. Dans la célèbre anecdote où Diogène veut repousser Alexandre qui lui fait de l’ombre, on cite le plus souvent le mot de Diogène, moins souvent la réponse d’Alexandre. Mais le défi ne suffit pas.

Ce qui est sans doute plus troublant encore, c’est la disparition des savants. Nous savons beaucoup de choses sur les Diadoques successeurs d’Alexandre le Grand, dont ce Ptolémée Ier. Nous ne savons rien d’Euclide. Son portrait par Juste de Gand en tête de ce billet, ou tous ces portraits par Raphaël dans l’Ecole d’Athènes, au Vatican quand les papes étaient savants, ne sont que les visages imaginés. L’oeuvre demeure.

NOTE sur les images. (1) Le portrait imaginaire d’Euclide par Juste de Gand (1410-1480) (Joos van Wassenhove) se trouve à Urbino, à la Galerie Nationale des Marches. L’image vient d’ici. (2 et 5, 7) Les images du Vaticanus gr. 190 viennent du site de la Bibliothèque vaticane. (3) Une photo un peu recoupée de Johan Ludvig Heiberg qui consacra sa vie à l’histoire des sciences dans l’Antiquité. Ce portrait vient de la page Wikipedia qui lui est consacrée. (4) Le manuscrit d’Euclide conservé à la Bodléienne d’Oxford est en partie consultable sur le site web de cette bibliothèque. (5) voir la notice de l’image 2. (6) L’édition Heiberg des oeuvres d’Euclide est accessible sur Archive.org. (7) voir la notice de l’image 2. (8) Stobée est un auteur étrange et fascinant. L’édition Wachsmuth est ‘accessible’ ici.

  1. Madame Dulibine a été mon professeur de mathématiques de la classe de 2nde à celle de Terminale au Lycée Clemenceau, à Reims. Impérieuse, délicate, exigeante et pleine d’égards, je crois que nous en avons tous conservé un souvenir ébloui. Elle a eu après le Bac la gentillesse de m’accueillir à diverses reprises chez elle pour des discussions sérieuses, qui ont contribué à former l’image que je me fais encore du « maître », non pas du tout au gré des cogitations de Hegel, où le maître a des esclaves, mais dans un esprit plus large et plus bienveillant, moins crispé sur l’Occident aussi, et où l’échange entre les aînés et les cadets est une ressource précieuse. Au fond, je ne dis ici que des évidences. []
  2. L’hypothénuse est le côté du triangle opposé à son angle droit. Le théorème de Pythagore, sous la forme qu’il a chez Euclide, dit que le carré de la longueur de cette hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ainsi, un triangle rectangle du genre d’une équerre, dont un côté de l’angle droit ferait dix centimètres et l’autre vingt, aurait une hypothénuse longue de 22, 36 cm. En effet 10×10 + 20×20 = 500, et la racine carrée de 500 est à peu près 22,36. []
  3. Éléments 1, 47. []
  4. Proclus (412-485), le commentateur de Platon, qui fit tant d’efforts aimables pour concilier l’idéal et la réalité, a laissé un commentaire très utile du livre 1 d’Euclide. On trouve une traduction anglaise (avec le texte grec) des passages historiques du Prologue dans un volume de l’édition Loeb : Ivor Thomas, 1939, Greek Mathematics, I : From Thales to Euclid. Le passage est aussi traduit par Heath, voir ci-dessous. Une traduction complète du traité de Proclus se trouve en italien : Proclo, 1978, Commento al I libro degli Elementi di Euclide. Introduzione, traduzione et note a cura di Maria Timpanaro Cardini. Giardini Editori et stampatori in Pisa. Rappelons aux philologues que Maria Timpanaro Cardini (1890-1978) était du mère de Sebastiano Timpanaro (1923-2000), dont le livre La Genèse de la méthode de Lachmann a été traduit en français (par Aude Cohen-Skalli et Alain Segonds) en 2016. []
  5. Voir la traduction de M. Timpanaro Cardini, op. cit. p. 341. []
  6. Euclid, The Thirteen Books of the Elements. Translated from the text of Heiberg with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, vol. 1 p. 350-351. []
  7. Plutarque dans ‘On ne peut vivre heureux selon les préceptes d’Épicure, ch. 11, et Banquet 8, 2, 4 ; Diogène Laërce 8, 12 ; Athénée 10, 13. []
  8. Ceux que cela intéresse peuvent aller lire le billet ‘Guerre des lettres et des chiffres‘, et mon court essai ‘La Lettre contre l’image‘. []
  9. Euclide d’Alexandrie, 1990, Les Eléments. Traduits du texte de Heiberg. Vol. 1. Introduction générale par Maurice Caveing. Livres I-IV Géométrie plane : traduction et comentaire par Bernard Vitrac. Presses Universitaires de France. La citation est p. 151. []
  10. Ed. Wachsmuth, lib. II, cap. XXXI, n° 115 p. 228. Sur Stobée et son anthologie, voir l’article très clair d’Edith Parmentier, ‘L’Enigmatique Anthologie de Stobée. Organisation du recueil et fiabilité des textes transmis’. Dans François Brizay et Véronique Sarrazin, 2015, Erudition et culture savante, de l’Antiquité à l’époque moderne, Presses Universivertaires de Rennes, 19-35. En ligne à http://books.openedition.org/pur/89748. []

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